Resumo: Consideramos o comportamento assintótico da equação de Moore-Gibson-Thompson (MGT). Este tipo de equação aparece no contexto de acústica não-linear [10, 21, 17], onde a modelagem considera o paradoxo da velocidade infinita de propagação, resultando em uma dinâmica de natureza hiperbólica. Em um primeiro momento, será provado que a equação de terceira ordem em questão gera um sistema dinâmico bem-posto o qual admite um atrator global de dimensão fractal finita. A principal dificuldade encontrada é a ausência de uma função de Lyapunov, juntamente com a não verificação de compacidade das trajetórias, cujo fato previne a aplicabilidade de ferramentas usuais da área de sistemas dinâmicos. A segunda abordagem considera a equação de MGT sujeita a efeitos viscoelásticos. A obtenção de taxas uniforme de decaimento exponencial está vinculada à hipóteses usuais restritivas acerca da função que localiza a atuação da dissipação friccional
Abstract: Long-time behavior of the Moore-Gibson-Thompson equation (MGT) is considered. This type of equations arises in the context of nonlinear acoustics [10, 21, 17] where modeling accounts for a finite speed of propagation paradox, the latter results in hyperbolic nature of the dynamics. At first, we will prove that the third order equation in consideration generates a well-posed dynamical system which admits a global and finite dimensional attractor. The main difficulty associated with the problem is the lack of Lyapunov function along with the lack of compactness of trajectories, which fact prevents applicability of standard tools in the area of dynamical systems. The second approach considers the MGT equation subjected to viscoelastic effects. Obtaining uniform exponential decay rate is linked with usual restrictive assumptions regarding the function that localizes the frictional damping |
