Resumo: Nosso primeiro objetivo nesse trabalho é apresentar de forma organizada e detalhada os conceitos estudados na teoria de Lie. Para isso, fizemos um estudo elaborado sobre álgebras e grupos de Lie: apresentamos as álgebras de Lie solúveis, nilpotente, simples e semisimples; mostramos os critérios de Cartan, que nos permitem investigar a solubilidade e semisimplicidade dessas álgebras de Lie e por fim, introduzimos o conceito de aplicação exponencial e variedades homogêneas. Nosso segundo objetivo é estabelecer critérios para definirmos em um espaço homogêneo, uma estrutura de espaço girovetorial de Lie. Para isto, fizemos um estudo da teoria de girogrupos através de laços visando atender nossos interesses e usando a teoria de Lie, para uma seção arbitrária da projeção canônica do grupo de Lie G sobre G=H, onde H é um subgrupo fechado de G, definimos uma operação binária sobre as classes laterais. Através dessa operação fornecemos condições suficientes para obtermos laços de Lie ? esquerda e a partir destes, obtemos os espaços girovetoriais de Lie
Abstract: The first objective in this work is to present in a organized and detailed way, the concepts of Lie theory. To reach this one, we did an extensive study about Lie groups and Lie algebras: we present the soluble, nilpotent, simple and semisimple Lie algebras; we give the Cartan criterions, which allow us to investigate the solubility and semisimplicity of these Lie algebras and, finally we introduce the definition of exponential map and homogenous manifolds. Our second objective is to establish criterions to define a structure of a Lie gyrovector space in a homogenous space. To reach this one, we did a study of gyrogroups through of loop theory, and using Lie theory, for an arbitrary section of the canonic map of the Lie group G on G=H, where H is a closed subgroup of G, we define an binary operation on the cosets. With this operation, we give conditions to obtain Lie left loops and from these, we obtain the Lie gyrovector spaces |
