Resumo: Processos estocásticos desempenham um papel importante na dinâmica de sistemas complexos. Tais sistemas são compostos por inúmeros elementos que podem interagem não linearmente, resultando em um comportamento global não trivial; e/ou apresentam grande complexidade estrutural. Nesse contexto, essa tese e dedicada ao estudo de processos difusivos em sistemas complexos, com ênfase em difusão anômala. Iniciamos contextualizando processos difusivos no estudo desses sistemas, com o objetivo de relacionar os mecanismos de difusão anômala a natureza das interações e as estruturas heterogêneas. Consoantemente abordamos as generalizações das conjecturas da difusão usual que foram propostas para modelar sistemas complexos, ou seja, os conceitos e métodos matemáticos de: i) caminhada aleatória contínua no tempo; ii) equação de difusão fracionaria; e iii)equação de Langevin generalizada. Na seqüência, investigamos algumas extensões da equação de difusão com vínculos geométricos, denominada modelo de pente. Em particular,discutimos como o dispersão do sistema e influenciada por forcas externas e pela presença do termo de backbone, bem como analisamos o tempo de primeira passagem e a probabilidade de sobrevivência para o modelo de pente. Por meio de soluções analíticas dependentes do tempo, obtidas utilizando transformadas integrais e o método das funções de Green, demonstramos como vínculos geométricos e efeitos de memória, estes em termos de derivadas fracionarias, podem conduzir a uma rica classe de comportamentos difusivos anômalos. Por fim, apresentamos nossas conclusões gerais.
Abstract: Stochastic processes play an important role in the dynamics of complex systems. Such systems are compound by several elements which may interact nonlinearly, leading to a non-trivial global behavior; and/or show high structural complexity. In this context, the present thesis is dedicated to the study of diffusive processes in complex systems, mainly focused on anomalous diffusion. Our study begins by contextualizing diffusive processes in the study of these systems, in order to relate the mechanisms of anomalous diffusion to the nature of the interactions and to the structural heterogeneities. Thus, we discuss some generalizations of the conjectures of usual diffusion proposed to model complex system, i.e., concepts and mathematical methods give by: i) continuous time random walk; ii) fractional diffusion equation; and iii) generalized Langevin equation. Following, we investigate some extensions of the diffusion equation with geometrical constraints, called comb model. In particular, we discuss the relation between the spreading of the system with the presence of external forces, and with the presence of the backbone term. We also analyze the first passage time and the survival probability of the comb model. By means of time dependent analytical solutions, obtained by using integral transform and the Green's Functions approach, we show how geometrical constraints and memory effects(fractional derivatives), can lead to a rich class of anomalous diffusive behaviors. Finally, we present our general conclusions. |
