Resumo: Neste trabalho, foram estudados dois modelos que possuem aplicações em contextos físicos. Um destes é caracterizado por um processo difusivos em um meio com vínculo geométrico, comumente denominado modelo do pente, e o outro trata-se da difusão de íons sob a ação de um potencial externo. Para o estudo desses modelos, fez-se necessário de início, um apanhado geral sobre difusão, desde o movimento Browniano à difusão anômala, e uma breve introdução sobre calculo fracionário. O modelo do pente foi estudado em um meio semi-infinito com uma superfície absorvente em x = 0. Particularmente, foi obtida a evolução temporal da densidade de partículas para qualquer posição do sistema em termos das condições iniciais juntamente com o deslocamento quadrático médio, a probabilidade de sobrevivência e a distribuição de tempo de primeira passagem. Essas grandezas mostraram que os "braços" se comportam como armadilhas quando consideradas derivadas de ordem não inteira. O segundo modelo consiste na difusão de cargas sob a enuncia de potenciais externos em um sistema unidimensional de espessura de com eletrodos em z=±d/2. Foi considerada condição de contorno genérica para a superfície do eletrodo e um potencial qualquer impar aplicado ao mesmo, ou seja, uma célula eletrolítica. Para esse caso, obteve-se a evolução temporal do potencial para qualquer posição z do sistema, considerando tanto o potencial elétrico externo quanto a condição de borda genéricos. Foi realizada, ainda, uma analogia com sistemas de medida de corrente em cristais líquidos nemáticos através de um potencial aplicado ao efetuar-se a medida, observando, assim, valores similares aos resultados experimentais.
Abstract: In this work we studied two models that have applications in physical contexts. One is characterized by a diffusive process in a geometric constraint medium, commonly called comb-model, and the other consists in ionic diffusion under action of an external potential. For this study it was necessary a general view about diffusion, ranging from Brownian motion to anomalous diffusion, and a brief introduction of fractional calculus. Comb model was studied in a semi-infinite medium in the axis x with an adsorbing surface in x = 0. It was obtained the temporal evolution of particles density for any position of system in terms of the initial conditions along with mean squared displacement, survival probability and first passage time. These quantities showed the existence of traps in the ramification of comb when considered derivatives of not integer order. The second model studied consists in charge diffusion under influence of external potentials in a one dimentional system formed by a slab d with electrodes in ±d=2. It was considered a general boundary condition on surface of electrode with any odd potential applied, in other words, an electrolytic cell. For this case it was obtained the temporal evolution of potential for any position z of system, considering both the external electric potential and the boundary condition generic. It was realized an analogy with a current measure system in nematic liquid-crystals through with potential applied in the measure process, thus finding similar results to the observed in the lab. |
