Resumo: Esta tese aborda o estudo qualitativo da estabilidade orbital e linear para três modelos não-lineares associados a equações de evolução. Inicialmente, usando a teoria de Grillakis, Shatah e Strauss, [37], é determinado que as soluções ondas estacionárias periodicas dnoidais da equação de Klein-Gordon com potência polinomial quíntica são orbitalmente instáveis em um espaço de Sobolev periódico de funções pares. Num segundo momento, usando a teoria variacional clássica adaptada de Benjamin [14], Bona [17] e Weinstein [66] (ver também Angulo [8]), são determinadas ondas estacionárias periódicas orbitalmente estáveis pelo fluxo em H1 ([0, L]) para a equação de Schrödinger Logarítmica. Este estudo aprimora os resultados propostos por Natali e Neves, [55], que haviam obtido a estabilidade orbital para as mesmas ondas estacionárias sobre uma restrição aos espaços de Sobolev periódicos de funções pares. Em ambos os modelos de equações de evolução citados, faz-se a análise espectral de determinados operadores de Hill, por meio de um aprimoramento da teoria de Floquet detalhado por Natali e Neves (ver [55]) e por Natali e Pastor (ver [56]). Finalmente, é estudada a estabilidade linear de soluções do tipo onda viajante periodica para a Equação Intermediária de Ondas Longas. Nesta última abordagem, considera-se ondas viajantes de média zero dadas explicitamente e usa-se como embasamento a teoria do índice Hamiltoniano de Krein explorada por Deconinck e Kapitula em [31]
Abstract: This thesis is concerned with the qualitative study of the orbital and linear stability associated with three non-linear models of evolution equations. Initially, by using the abstract theory due to Grillakis, Shatah and Strauss, [37], we determine the orbital instability of periodic dnoidal waves at the Sobolev space constituted by even periodic functions. Next, by using the classical variational theory as in Benjamin [14], Bona [17] and Weinstein [66] (see also Angulo [8]), we show the orbital stability of periodic waves in 1 per ([0, L]) related to the Logarithmic-Schrödinger equation. This study improves previous results proposed by Natali and Neves, [55]. These authors have obtained the orbital stability of periodic waves by restricting the approach to the even periodic Sobolev space. In both models, we present the spectral analysis of the associated Hill?s operators, by using an adaptation of Floquet?s theory due to Natali and Neves (see [55]) and Natali and Pastor (see [56]). Finally, we study the linear stability of periodic traveling waves to ILW Equation (Intermediate Long Wave Equation). We consider explicit periodic waves with the mean zero property in order to use the Hamiltonian-Krein index?s theory given by Deconinck and Kapitula in [31] |
