Resumo: O objetivo central deste trabalho é o desenvolvimento da teoria de formais normais para Hamiltonianos definidos em um espaço vetorial simplético de dimensão finita. Para alcançá-lo, desenvolvemos o método do operador adjunto e um método algébrico alternativo que leva em consideração um grupo S de matrizes dado em termos da parte linear do sistema Hamiltoniano associado. Nesse processo, utilizamos ferramentas da teoria de representação e da teoria invariante de grupos de Lie lineares, assim como da geometria simplética. Exemplificamos os métodos com a obtenção de formas normais de Hamiltonianos específicos, inclusive sob a ação de um grupo de Lie linear. Nesse último caso, a forma normal pode herdar as simetrias do Hamiltoniano original, implicando que as simetrias do campo Hamiltoniano associado também são preservadas
Abstract: The central goal of this work is the development of the normal forms theory for Hamiltonians defined in a finite-dimensional symplectic vector space. To achieve this, we develop the adjoint operator method and an alternative algebraic method which takes into account a given group S of matrices in terms of the linear part of the associated Hamiltonian system. In this process, we use tools from the representation theory and invariant theory of linear Lie groups, as well as from the symplectic geometry. We exemplify the methods by obtaining normal forms of specific Hamiltonians, even under the action of a linear Lie group. In this last case, the normal form can inherit the symmetries of the original Hamiltonian, implying that the symmetries of the associated Hamiltonian field are also preserved |
