Resumo: O presente trabalho é dedicado à investigação de extensões da equação de difusão que contém derivadas espacias e temporais de ordem fracionária na presença de forças externas e termos não-locais. Começamos nosso estudo pelo formalismo de caminhantes aleatórios seguido da equação de Langevin, no intuito de compreendermos a equação de difusão usual e as consequências quando a mesma é generalizada. Seguindo, apresentamos importantes propriedades a respeito do cálculo fracionário que serão usadas nos demais capítulos. Depois, analisamos a equação de difusão em uma dimensão com derivadas espaciais e temporais de ordem fracionária. Na sequência, investigamos os efeitos obtidos pela presença de termos não-locais na equação de difusão. Também discutimos a influência das condições de contorno no espalhamento do sistema. Para as equações, sejam elas com derivadas fracionárias ou com termos não-locais com ausência ou não de forças externas, obtivemos soluções analíticas dependentes do tempo utilizando o formalismo das funções de Green e mostramos que elas exibem uma dispersão anômala. Finalmente, apresentamos nossas conclusões.
Abstract: The present work is dedicated to investigate extensions of diffusion equations by incorporating spatial and time fractional derivatives, in the presence of external forces and nonlocal terms. We start by studying the continuous time random walk approach and the Langevin equation in order to understand the usual diffusion equation and the consequences obtained when it is extended. Following, we present important properties concerned to the fractional calculus which will be used in the others chapters. After, the one dimensional fractional diffusion equations are analyzed. Next, we investigate the effects obtained when nonlocal terms are incorporated. The influence of the boundary conditions on the spreading of the system also investigated. For equations with fractional derivatives or nonlocal terms in the absence of external forces or not, we obtain analytical solutions using the time-dependent formalism of the Green functions and the solutions exhibit an anomalous dispersion. Finally, we present our conclusions. |
